Deret Geometri

By Info Guru Maju January 18, 2021 Post a Comment

Deret Geometri

Halo teman-teman semuanya, tahukah kalian fungsi/manfaat ketika teman-teman mempelajarai barisan dan deret, baik aritmatika maupun geometri? Ternyata banyak sekali manfaat yang akan kalian dapatkan lhooo ..

Misalnya teman-teman punya cita-cita kelak jika sudah selesai sekolah ingin menjadi seorang wirausaha di berbagai bidang, maka kalian dapat menghitung/memperkirakan berapa keuntungan yang akan kalian dapatkan untuk beberapa tahun kemudian.. hmmm gimana hebat kan??

Itu salah satu keuntungan yang akan kalian dapatkan jika belajar barisan dan deret, dengan catatan teman-teman harus rajin belajar dan selalu mengerjakan tugas yang diberikan oleh guru teman-teman ya. Semangat belajar !!

DERET GEOMETRI

Apakah teman-teman masih ingat dengan barisan geometri? jika sudah lupa silakan untuk kembali dibaca dan dipahami sebelum kalian melanjutkan materi deret geometri.

Teman-teman tentu sudah paham perbedaan antara barisan dan deret yang telah teman-teman pelajari pada artikel sebelumnya. Yaa benar, perbedaanya terletak pada tanda penghubungnya saja. Pada barisan dipisahkan dengan tanda koma, sedangkan deret dipisahkan dengan tanda penjumlahan (+). Jika secara perhitungan, barisan digunakan untuk menentukan suku ke-, sedangkan deret digunakan untuk menentukan jumlah n suku pertamanya.

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Deret geometri disimbolkan dengan Sn yang berarti jumlah n suku pertama. Untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat digunakan dua rumus berbeda tergantung dari nilai dari rasio (r) atau pembaginya, lebih jelasnya perhatikan rumus berikut :

$\begin{align*} Sn &=\frac{a.\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}\Rightarrow r<1 \\ &atau \\ Sn &= \frac{a.\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\Rightarrow r>1 \end{align*}$

Jadi untuk menggunakan rumus Sn tergantung dari nilai rasionya, jika rasionya < 1 (biasanya pecahan) maka gunakan rumus yang atas, sedangkan jika rasionya >1 (2,3, .. atau pecahan yang lebih dari 1) gunakan rumus yang bawah, dengan :

a : suku pertama

r : rasio/pembagi

n : banyak suku

Contoh Soal 1

Diketahui deret geometri : 2+6+18+ .... Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut

Jawaban

Dari soal tersebut, jelas bahwa :

a = 2 , r = 6:2 = 3 , n = 5

Karena rasionya 3 (r >1) maka teman-teman gunakan rumus kedua/bawah.

$\begin{align*} Sn &= \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\\ S_{5} &=\frac{2.\left ( 3^{5}-1 \right )}{3-1} \\ &=\frac{2.(243-1)}{2} \\ &=\frac{2.242}{2} \\ &= \frac{482}{2}\\ &= 242 \end{align*}$

Jadi, jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut adalah 242.

Baca Juga : Barisan dan Deret Aritmatika | Baris Geometri

Contoh Soal 2

Diketahui sebuah deret geometri dengan suku ke-3 adalah 64 sedangkan besar suku ke-6 adalah 8. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri tersebut.

Jawaban:

Dari soal diketahui bahwa U3 = 64 dan U6 = 8

Langkah pertama yang harus teman-teman lakukan adalah menentukan nilai suku pertama dan rasionya dengan cara membagi suku lebih besar dibagi suku lebih kecil.

$\begin{align*} \frac{U_{6}}{U_{3}} &=\frac{8}{64} \\ \frac{ar^{5}}{ar^{2}}&= \frac{1}{8}\\ r^{3}&= \frac{1}{8}\\ r^{3} &= \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}\\ r &= \frac{1}{2} \end{align*}$

Kemudian cari suku pertama (a), misalnya disini diambil persamaan suku ke-3

$\begin{align*} U_{3} &=64 \\ ar^{2}&=64 \\ a.\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}&=64 \\ a.\frac{1}{4}&=64 \\ a&= 64.\frac{4}{1}\\ a &= 256 \end{align*}$

Jika rasio dan suku pertama sudah dihitung, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah 10 suku pertama (S10). Karena rasionya 1/2 (r<1) maka teman-teman gunakan rumus atas.

$\begin{align*} Sn &= \frac{a\left (1- r^{n} \right )}{1-r}\\ S_{10} &=\frac{256.\left ( 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{10} \right )}{1-\frac{1}{2}} \\ &=\frac{256.(1-\frac{1}{1024})}{\frac{1}{2}} \\ &=\frac{256.\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}\Rightarrow 256 coret1024 \\ &= \frac{\frac{1023}{4}}{\frac{1}{2}}\\ &= \frac{1023}{4}\times \frac{2}{1}=\frac{1023}{2} \end{align*}$

Jadi jumlah 10 suku pertama deret diatas adalah 1023/2.

Contoh Soal 3

Seutas tali dibagi menjadi enam bagian dengan membentuk suatu deret geometri. Jika potongan tali yang paling pendek adalah 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 128 cm, tentukan panjang tali semula (keseluruhan)

Jawaban:

Dari soal tersebut, diketahui bahwa potongan tali terpendek sebagai suku pertama (a) sedangkan potongan tali terpanjang sebagai suku terakhir (karena dipotong menjadi 6 bagian, artinya potongan terpanjang adalah suku ke-6). Langkah pertama tentukan dulu nilai rasionya.

$\begin{align*} \frac{U_{6}}{U_{1}} &=\frac{128}{4} \\ \frac{ar^{5}}{a}&=32 \\ r^{5}&= 32\\ r^{5}&=\left ( 2 \right ) ^{5}\\ r &= 2 \end{align*}$

Kemudian, teman-teman dapat menghitung jumlah 6 suku pertama (potongan tali keseluruhan). Karena rasionya 2 (r>1) teman-teman gunakan rumus bawah.

$\begin{align*} S_{n} &= \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\\ S_{6}&=\frac{4\left ( 2^{6}-1 \right )}{2-1} \\ &=\frac{4\left ( 64-1 \right )}{1} \\ &=\frac{4.63}{1} \\ &=252 \\ \end{align*}$

Jadi jumlah potongan tali keseluruhan adalah 252 cm.

Bagaimana teman-teman, mudah bukan untuk materi ini?? jangan lupa sering berlatih mengerjakan soal agar terbiasa dan lancar dalam mengerjakan soal berikutnya.

Baca Juga : Deret Geometri Tak Hingga | Barisan Geometri

Info Guru Maju Berbagi Informasi Pendidikan

INFO GURU MAJU

Widget HTML #1

Deret Geometri

Post a Comment for "Deret Geometri"