DERET GEOMETRI TAK HINGGA DIVERGEN DAN KONVERGEN

By Info Guru Maju March 09, 2021 43 comments

PENGERTIAN DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Deret geometri tak hingga terbagi menjadi dua jenis, yaitu tak hingga divergen dan tak hingga konvergen. Apa sih perbedaan dari keduanya ? Yuk kita pelajari selengkapnya...

Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak dapat di hitung berapa jumlah pastinya. Perhatikan contoh berikut ini :

Diketahui deret geometri : 2 + 6 + 18 + ....

Dapatkah kalian menjumlahkan hasilnya ?? Tentu kalian tidak akan mampu menjumlahkan hasilnya, karena nilainya semakin membesar dat tidak terbatas.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah deret yang nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat di hitung berapa jumlah pastinya. Perhatikan contoh berikut ini :

Diketahui deret geometri : 18 + 6 + 2 + ....

Jika kalian perhatikan bilangan tersebut semakin mengecil sampai dengan mendekati nilai nol. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat kita hitung jumlah keseluruhannya.

Dapatkah kalian menghitung jumlah keseluruhan deret geometri tak hingga konvergen diatas?

Wajib kalian ketahui bahwa sebelum kalian menggunakan rumus, ada syarat yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasio (pembandingnya) harus berada pada rentang - 1 sampai dengan 1 ( -1 < r < 1). Rasio tersebut berlaku untuk nilai positif maupun nilai negatif.

Contoh soal 1

OK, kita coba untuk menyelesaikan deret geometri tersebut : 18 + 6 + 2 + ....

Dari deret tersebut, terlihat bahwa suku pertama adalah 18 dan pembanding /rasionya adalah $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$ . Nah setelah itu kita dapat menghitung jumlah deret geometri tak hingga dengan menggunakan rumus :

S tak hingga = $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

Kemudian kita dapat memasukkan nilai dari a dan r nya, sehingga didapat :

$S_{\infty }=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=18\times \frac{3}{2}=27$

Begitulah cara untuk menentukan jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen, jadi jumlah dari S tak hingga adalah 27.

Contoh soal 2

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 32 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus. Tentukan panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti.

Jawaban

Untuk menyelesaikan soal tersebut ada 2 cara yang dapat di gunakan, pertama dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga dan yang kedua dengan menggunakan rumus cepat. Jika kalian menggunakan rumus geometri tak hingga seperti berikut penjelasannya :

Lintasan Turun

$\begin{align*} a &=32; r=\frac{2}{3} \\ S_{\infty }&= \frac{a}{1-r}\\ &=\frac{32}{1-\frac{2}{3}} \\ &= \frac{32}{\frac{1}{3}}\\ &= \32\times \frac{3}{1}=96 \end{align*}$

Lintasan Naik

$\begin{align*} a &=32\times \frac{2}{3}=\frac{64}{3}; r=\frac{2}{3} \\ S\infty &= \frac{a}{1-r}\\ &=\frac{\frac{64}{3}}{1-\frac{2}{3}} \\ &=\frac{\frac{64}{3}}{\frac{1}{3}} \\ &=\frac{64}{3}\times \frac{3}{1} \\ &=64 \\ \end{align*}$

Kemudian teman-teman dapat menjumlahkan lintasan turun dan lintasan naik = 96 + 64 = 160 meter

Cara kedua

Teman-teman dapat menggunakan rumus :

$\begin{align*} PL &=\frac{\left ( b+k \right )}{\left ( b-k \right )}\times a \\ \end{align*}$

PL = panjang lintasan

b = bilangan besar pada rasio

k = bilangan kecil pada rasio

a = ketinggian awal

Jadi untuk mengerjakan contoh soal kedua tersebut, kita dapat menghitungnya dengan rumus tersebut:

$\begin{align*} PL &=\frac{\left ( b+k \right )}{\left ( b-k \right )}\times \\ &=\frac{3+2}{3-2}\times 32 \\ &= \frac{5}{1}\times 32\\ &= 160 \end{align*}$

Dengan menggunakan rumus tersebut, dengan mudah teman-teman dapat menghitung panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 160.

Bagaimana ? sangat mudah bukan untuk menyelesaikan deret geometri tak hingga konvergen tersebut. Semoga kalian dapat memahami dan mengerti penjelasan diatas. Selamat Belajar !!

Info Guru Maju Berbagi Informasi Pendidikan

INFO GURU MAJU

Widget HTML #1

DERET GEOMETRI TAK HINGGA DIVERGEN DAN KONVERGEN

43 comments for "DERET GEOMETRI TAK HINGGA DIVERGEN DAN KONVERGEN"