Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Persamaan Matriks

By Info Guru Maju March 08, 2021 Post a Comment

Persamaan Matriks

Halo teman-teman, kita hampir menyelesaikan pembahasan tentang materi matriks mulai dari jenis-jenis matriks, operasi penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks, transpose, determinan matriks dan invers matriks.

PERSAMAAN MATRIKS

Untuk pembahasan hari ini, kita akan membahas tentang Persamaan Matriks untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Seperti contoh berikut :

Tentukan nilai 3x + 4y jika diketahui SPLDV

$\begin{align*} 4x-3y &= 11\\ 5x+2y&= 8 \end{align*}$

Jika teman-teman menyelesaiakan SPLDV di atas dengan cara eliminasi/substitusi tentu sudah biasa dan tentunya kalian sudah bisa. Tahukah kalian jika untuk menyelesaikan SPLDV diatas dapat menggunakan cara matriks?? Begini caranya ..

Langkah pertama, yang harus teman-teman lakukan adalah mengubah model matematika tersebut menjadi bentuk matriks. Seperti ini ya ..

$\begin{align*} 4x-3y &= 11\\ 5x+2y&= 8 \end{align*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & -3\\ 5 & 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 8 \end{pmatrix}$

Langkah kedua, teman-teman dapat memisalkan matriks diatas dengan simbol sebagai berikut :

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 4 & -3\\ 5 & 2 \end{pmatrix} &\rightarrow matriks A \\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} &\rightarrow matriks X \\ \begin{pmatrix} 11\\ 8 \end{pmatrix}&\rightarrow matriks B \end{align*}$

sehingga didapatkan persamaan matriks sebagai berikut :

$\begin{align*} A.X &= B\\ X &= A^{-1}.B \end{align*}$

Langkah ketiga, tentukan nilai dari invers matriks A

Baca Juga : Determinan Matriks | Invers Matriks

$\begin{align*} A^{-1} &=\frac{1}{\left | A \right |}.\begin{pmatrix} d & -b\\ -c& a \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{4.2-\left ( -3 \right ).5}\begin{pmatrix} 2 & 3\\ -5 &4 \end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{8+15}\begin{pmatrix} 2 & 3\\ -5 & 4 \end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{23}\begin{pmatrix} 2 &3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix} \end{align*}$

Langkah keempat, proses menyelesaikan SPLDV dengan persamaan matriks :

$\begin{align*} X &=A^{-1}.B \\ &=\frac{1}{23}.\begin{pmatrix} 2 &3 \\ -5& 4 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 11\\ 8 \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{23}\begin{pmatrix} 2.11+3.8\\ \left ( -5 \right ).11+4.8 \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{23}\begin{pmatrix} 22+24\\ -55+32 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{23}\begin{pmatrix} 46\\ -23 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Dari penyelesaian tersebut, teman-teman dapat menyimpulkan bahwa nilai x = 2 sedangkan nilai y = -1. Kamudian untuk soal ini tadi ditanyakan untuk nilai 3x+4y, jadi :

$\begin{align*} 3x+4y &=3\left ( 2 \right )+4\left ( -1 \right ) \\ &=6+\left ( -4 \right ) \\ &= 2 \end{align*}$