Perkalian Skalar Dua Vektor dan Besar Sudut Antara Dua Vektor

perkalian dua vektor

Perkalian skalar antara dua vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ dituliskan dengan notasi $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$  dibaca $\overrightarrow{a}$ dot $\overrightarrow{b}$ atau $\overrightarrow{a}$ perkalian titik $\overrightarrow{b}$ . 

Jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\  a_{2}\\  a_{3} \end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\  b_{2}\\  b_{3} \end{pmatrix}$, rumus perkalian skalar dua vektor adalah sebagai berikut.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$

Pada vektor bangun datar jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{pmatrix}$, maka $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}.$

Jika vektor $a$ dan vektor $b$ membentuk sudut ß , perkalian skalar kedua vektor tersebut dirumuskan sebagai berikut. 

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left | a \right |.\left | b \right |.cos\beta $

dengan |a| adalah panjang/ besar vektor a yang di hitung dengan $\left | a \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Contoh soal 1

Besar vektor $a$ dan $b$ berturut-turut adalah 6 satuan dan 5 satuan. Jika kedua vektor tersebut membentuk sudut 60°, hitung perkalian skalar antara vektor $a$ dan $b$. 

Penyelesaian

Dari soal diatas, kalian tinggal masuk kedalam rumus:

$\begin{align*}a.b&=\left | a \right |.\left | b \right |.cos\beta  \\ &=6.5.cos60^{o} \\ &= 30.\frac{1}{2}=15\end{align*}$

Contoh soal 2

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}3\\ -3\\ 2\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 3\end{pmatrix}$. Hitung nilai dari $a.b$ dan $b.a$ 

Penyelesaian

$a.b=3.2+(-3).1+2.3=6+(-3)+6=9$

$b.a=2.3+1.(-3)+3.2=6+(-3)+6=9$

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh bahwa $a.b=b.a$ -> sifat komutatif. 

Contoh soal 3

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 4\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}3\\ 2p\\ 2\end{pmatrix}$. Jika $a.b=3$ tentukan nilai dari p.

Penyelesaian 

Dari soal diketahui bahwa $a.b=3$, maka dapat diselesaikan dengan cara perkalian antara dua vektor:

$\begin{align*}a.b &=3 \\ \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 4\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\ 2p\\ 2\end{pmatrix}&=3 \\ 1.3+(-2).2p+4.2 &= 3\\ 3-4p+8 &=3 \\ -4p&= 3-3-8 \\-4p&=-8 \\p&=\frac{-8}{-4}=2\end{align*}$

SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Jika $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\  a_{2}\\  a_{3} \end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\  b_{2}\\  b_{3} \end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor pada bangun ruang dan sudut yang dibentuk oleh vektor $a$ dan $b$ adalah ß, besar cos ß dapat ditentukan dengan rumus berikut:

Contoh soal 4

Jika diketahui $a=\begin{pmatrix}2\\ -4\\ -2\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -2\end{pmatrix}$ adalah vektor pada bangun ruang, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Penyelesaian

Terlebih dahulu, kalian dapat menentukan nilai dari $a.b$ dan panjang vektor $a$ dan $b$ 

$\begin{align*}a.b &= \begin{pmatrix}2\\ -4\\ -2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -2\end{pmatrix}\\  &=2(-1)+(-4).(-1)+(-2).2 \\  &= -2+4+4\\&=6\end{align*}$

$\begin{align*}\left | a \right | &=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2}}\\  &=\sqrt{4+16+4} \\  &=\sqrt{24} \\ \left | b \right | &=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}} \\&=\sqrt{1+1+4} \\&=\sqrt{6}\end{align*}$

Setelah itu, kalian dapat menentukan sudut antara dua vektor tersebut dengan rumus berikut:

$\begin{align*}cos\beta  &=\frac{a.b}{\left | a \right |.\left | b \right |} \\  &=\frac{6}{\sqrt{24}.\sqrt{6}} \\  &= \frac{6}{\sqrt{144}}\\  &= \frac{6}{12}\\ cos\beta  &= \frac{1}{2}\\\beta &=60^{o}\end{align*}$

cos yang bernilai $\frac{1}{2}$ adalah cos 60°

Contoh soal 5

Diketahui vektor $a=\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}$ dan $b=\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 2\end{pmatrix}$ adalah vektor pada bangun ruang, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.  

Penyelesaian

Sama seperti contoh 4, terlebih dahulu kalian dapat menentukan nilai dari $a.b$ dan panjang vektor $a$ dan $b$ 

$\begin{align*}a.b &= \begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 2\end{pmatrix}\\  &=-3(-2)+(3).(4)+(0).2 \\  &= 6+12+0\\&=18\end{align*}$

$\begin{align*}\left | a \right | &=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2}}\\  &=\sqrt{9+9+0} \\  &=\sqrt{18}\\&=3\sqrt{2} \\ \left | b \right | &=\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}+(2)^{2}} \\&=\sqrt{4+16+4} \\&=\sqrt{24}\\&=2\sqrt{6}\end{align*}$

Setelah itu, kalian dapat menentukan sudut antara dua vektor tersebut dengan rumus berikut:

$\begin{align*}cos\beta  &=\frac{a.b}{\left | a \right |.\left | b \right |} \\  &=\frac{18}{3\sqrt{2}.2\sqrt{6}} \\  &= \frac{18}{6\sqrt{12}}\\ &=\frac{18}{6.2\sqrt{3}}\\ &=\frac{18}{12\sqrt{3}} \\ &=\frac{3}{2\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &=\frac{2}{6}\sqrt{3} \\ cos\beta &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \beta &=30^{0}\ \end{align*}$

cos yang bernilai $\frac{1}{2}\sqrt3 $ adalah cos 30°

Demikian materi perkalian skalar dua vektor dan cara menentukan besar sudut antara dua vektor yang dapat kalian pelajari. Jika ada pertanyaan, silakan tulis di komentar.