Identitas Trigonometri

By Info Guru Maju February 17, 2021 Post a Comment

Salam bahagia selalu buat sahabat infoguru_ semoga sehat dan terus semangat dalam belajar matematika. Kali ini kita akan bersama belajar mengenai identitas trigonometri dan persamaan trigonometri.

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah rumus yang menghubungkan antara sin α, cos α dan tan α. Untuk lebih jelasnya kalian dapat melihat gambar berikut.

identitas trigonometri

Segitiga AOP adalah segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya adalah α. Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri suatu sudut, diperolah:

$\begin{align*} sin\alpha &= \frac{y}{r}\\ cos\alpha &=\frac{x}{r} \\ tan\alpha &= \frac{y}{x} \end{align*}$

Ternyata tan α dapat dicari dari pembagian sin α dengan cos α.

$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha };cos\alpha \neq 0$

Bukti:

$tan\alpha =\frac{y }{x }=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

Terdapat pula hubungan antara tan α dengan cot α, sin α dengan cosec α, dan cos α dengan sec α sebagai berikut:

$cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha };cosec\frac{1}{sin\alpha };sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

Perhatikan kembali gambar diatas, karena segitiga AOP adalah segitiga siku-siku, maka berlaku hubungan x² + y² = r².

$\begin{align*} x^{2}+y^{2} &=r^{2} \\ \left ( r.cos\alpha \right )^{2}+\left ( r.sin \right )^{2}&=r^{2} \\ r^{2}cos^{2}\alpha +r^{2}sin^{2}\alpha &=r^{2} \\ r^{2}\left ( cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha \right )&=r^{2} \\ cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha&=\frac{r^{2}}{r^{2}}=1 \end{align*}$

sehingga diperoleh:

$cos^{2}\alpha +sin^{2 }\alpha =1$

Dari identitas trigonometri tersebut, kalian dapat mencari identitas trigonometri yang lain. Jika persamaan cos² α + sin² α = 1 dibagi dengan cos² α , maka akan diperoleh persamaan berikut.

$1+tan^{2}\alpha =sec^{2}\alpha$

Jika persamaan cos² α + sin² α = 1 dibagi dengan sin² α , akan diperoleh persamaan berikut.

$1+cot^{2}\alpha =cosec^{2}\alpha$

Ada beberapa identitas trigonometri yang wajib kalian ketahui, diantaranya adalah sebagi berikut:

sudut rangkap

Contoh Soal

Buktikan bahwa : 1 + tan² α = sec² α.

Jawaban

$\begin{align*} sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha &=1 \\ \frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }+\frac{cos^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }&=\frac{1}{cos^{2}\alpha }\rightarrow dibagi:cos^{2}\alpha \\ \left ( \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \right )^{2}+1&=\left ( \frac{1}{cos\alpha } \right )^{2} \\ tan^{2}\alpha +1 &= sec^{2}\alpha \\ 1+tan^{2}\alpha &= sec^{2}\alpha \rightarrow terbukti \end{align*}$

Bagaimana teman-teman sudah paham dengan materi tentang identitas trigonometri. Semoga kalian paham dan tetap semangat belajar.

Info Guru Maju Berbagi Informasi Pendidikan

INFO GURU MAJU

Widget HTML #1

Identitas Trigonometri

Post a Comment for "Identitas Trigonometri"